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Algebra Lineal

Cap. 1 Espacios Vectoriales
Es una estructura algebraica que esta formada por 4 elementos:
(V)=Conjunto de vectores
(K)=Cuerpo de escalares
(+)=Ley de composicion interna o suma de vectores
(.)=Ley de composicion externa o producto de un escalar pr un vector

Axiomas de espacio vectorial
La estructura V=(V,K,+,.) debe cumplir todos y cada uno de los siguientes 8 axiomas:
1.- u+v=v+u
2.- u+(v+w)=(u+v)+w
3.- u+o=u; o=vector nulo
4.- u+(-u)=o
5.- (α+β)u=αu+uβ
6.- α(u+v)=αu+αv
7.- α(βu)=(αβ)u
8.- 1xu=u

Los espacios mas conocidos

1ro Rn.- vectores de la forma [u1, u2...un]

con R4: u=[1,2,3,4], v=[3,4,5,6] 2v-3v

=[-7,-8,-9,-10]

vector nulo: o= [0,0,0,0] ; u+o=u AX3

vector opuesto: -u=[-1,-2,-3,-4] y u+(-u)=o Ax4

2do Rnxm.- matrices de n filas, m columnas

En R2x2: A=[a1¬a3, a2¬a4] , B=[b1¬b3,b2¬b4]

A+B=[a1+b1¬a3+b3, a2+b2¬a4+b4] ; αA=α[αa1¬αa3, αa2¬αa4] (siendo"¬" simbolo de estar "encima de" en la matriz)

Ejercicio.- Calcule la matriz C si 3A+4C=o

Dato A=[2¬1, -1¬3] ; o= matriz nula

3[2¬1, -1¬3] + 4[c1¬c3, c2¬c4]= [0¬0, 0¬0]

[6¬3, -3¬9] + [4c1¬4c3, 4c2¬4c4]=[0¬0, 0¬0]

[6+4c1¬3+4c3, -3+4c2¬9+4c4]=[0¬0, 0¬0]

6+4c1=0.- c1=-3/2

Ecuaciones escalares {-3+4c2=0.- c2=3/4

3+4c3=0.-c3=-3/4

9+4c4=0.- c4=-9/4

C=[-3/2¬-3/4,3/4¬-9/4]

1º Rn vectores=n-uplas

2º Rnxm vectores=matrices nxm

3º Pn vectores=polinomios en una variable grado de polinomios ≤n

Ejemplo P2.- Espacio vectorial que consta de todos los polinomios de grado ≤ 2

Polinomio generico de P2:

p(x)=ax+bx+c; a.b.c ε R

En P2.- Suma de polinomios

p(x) ε P2.- p(x)=ax2+bx+c

q(x) ε P2.- q(x)=dx2+ex+f

p(x)+q(x)=(a+d)x2+(b+e)x+c+f

Operacion: Prod. de un escalar por un polinomio:

αεR.- αp(x)=α(ax2)+ α(bx)+αc

Polinomio nulo.- Эpo(x)εP2 tal que:

p(x)+po(x)=p(x)(para todo)p(x)εP2

po(x)=0x2+0x+0

Polinomio opuesto.- (para todo)p(x)εP2, Э(-p(x))εP2

Tal que: p(x)+(-p(x))=po(x)

-p(x)=-ax2-bx-c